1. 微小ダイポールアンテナの放射抵抗と複素自己インピーダンス
物理長が動作波長に比べて十分に短いダイポール（長さ \( dl \ll \lambda \)）を指し、ダイポール全体に一様な電流 \( I_0 \) が流れていると近似した基本波源モデルです。
■ 放射インピーダンス \( Z_{in} \) 導出方程式
\[ Z_{in} = R_r + j X_{in} \approx 80\pi^2 \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 - j \frac{\eta_0}{\pi (dl/\lambda)} \left[ \ln\left(\frac{dl}{2a}\right) - 1 \right] \]
■ 放射抵抗（実部 \( R_r \)）の求め方
微小ダイポールからの放射電界 \( E_\theta \) と磁界 \( H_\phi \) は、マクスウェル方程式を解くことで以下の遠方界（Far field）として求まります：
\[ E_\theta = j \eta_0 \frac{I_0 k dl}{4\pi r} \sin\theta e^{-jkr}, \quad H_\phi = \frac{E_\theta}{\eta_0} \]
空間に放出される全電力量（放射電力 \( P_r \)）は、アンテナを取り囲む閉曲球面（半径 \( r \)）において、ポインティングベクトル \( \mathbf{S} = \frac{1}{2}\text{Re}[\mathbf{E} \times \mathbf{H}^*] \) を積分することで得られます（ポインティングベクトル法）：
\[ P_r = \int_0^{2\pi} \int_0^pi \frac{1}{2} \text{Re}[E_\theta H_\phi^*] r^2 \sin\theta d\theta d\phi = \frac{\eta_0 \pi}{3} \left(\frac{I_0 dl}{\lambda}\right)^2 \]
これを等価損失抵抗による消費電力式 \( P_r = \frac{1}{2} R_r |I_0| ^2 \) と等置することで導出されます：
\[ R_r = \frac{2 P_r}{|I_0|^2} = \frac{2\eta_0 \pi}{3} \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \approx 80\pi^2 \left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \quad (\because \eta_0 \approx 120\pi) \]
■ リアクタンス（虚部 \( X_{in} \)）の求め方
アンテナ導体を極細の円柱コンデンサとして静電容量 \( C \approx \frac{\pi \varepsilon_0 dl}{\ln(dl/2a) - 1} \) を見積もることで、
\[ X_{in} = -\frac{1}{\omega C} \approx -\frac{\eta_0}{\pi (dl/\lambda)} \left[ \ln\left(\frac{dl}{2a}\right) - 1 \right] \]
が導かれます。非常に長さが短いため、静電キャパシタンスが非常に小さくなり、リアクタンスは負（容量性）に大きく発散します。
2. 有限長 / 半波長ダイポールアンテナの自己インピーダンス
任意長 \( L \) の細線ダイポールアンテナにおける入力インピーダンスは、定在波状の正弦波電流分布を仮定したうえで、起電力法（Induced EMF Method）を用いることで計算されます。
■ アンテナ表面の平行誘起電界 \( E_z(z) \) の厳密表現
アンテナ表面上の平行成分 \( E_z(z) \) は、両端および中心からの距離を用いて以下のように自己誘起されます：
\[ E_z(z) = -j \frac{\eta_0 I_m}{4\pi} \left[ \frac{e^{-jkR_1}}{R_1} + \frac{e^{-jkR_2}}{R_2} - 2\cos\left(\frac{kL}{2}\right)\frac{e^{-jkr}}{r} \right] \]
■ 起電力法（Induced EMF Method）による複素電力積分
アンテナ導体表面における複素放射電力 \( P_c \) を直接積分します：
\[ Z_{in} = -\frac{1}{|I_{in}|^2} \int_{-L/2}^{L/2} E_z(z) I^*(z) dz \]
この積分を実行すると、上の16ステップ講義に記述した通り、サイン積分 \( Si(x) \) と コサイン積分 \( Ci(x) \) を含む以下の厳密形式が得られます。
3. モノポールアンテナの自己インピーダンス（地板鏡像法）
完全導体でできた無限地板上に直立させた長さ \( H \) のモノポールアンテナは、電磁気学的な「鏡像法（電気映像法）」によってダイポールに帰着させます。
■ 鏡像原理による等価回路化
物理高 \( H \) のモノポールは、「全長 \( L = 2H \) のダイポールアンテナが自由空間に配置されたモデル」と電気的に等価になります。
■ インピーダンスの半減公式
モノポールは地板の上側の半空間にのみ電磁波を放射するため、全放射電力は等価ダイポールの半分になります：
\[ P_{monopole} = \frac{1}{2} P_{dipole} \]
\[ Z_{monopole} = \frac{1}{2} Z_{dipole}(L = 2H) \]
これより、1/4波長モノポール（\( H = 0.25\lambda \)）のインピーダンスは、半波長ダイポールのちょうど半分になります：
\[ Z_{monopole} \approx 36.56 + j 21.27\ \Omega \]
4. 微小ループアンテナ（多ターン巻）の電磁放射抵抗とループインダクタンス
波長に比べて十分に小さい円形ループ（半径 \( b \ll \lambda \)、面積 \( S = \pi b^2 \)）は、「磁気ダイポール（Magnetic Dipole）」としての特性を示します。さらに、巻き数を \( n \) 回に増やすことで、給電点における放射抵抗および誘導リアクタンスを大幅に引き上げることができます。
■ \( n \) 回巻き時の放射インピーダンス \( Z_{in} \) 導出方程式
\[ Z_{in} = R_r + j X_{in} \approx 31,171 \cdot n^2 \left(\frac{S}{\lambda^2}\right)^2 + j \omega \cdot n^2 \mu_0 b \left[ \ln\left(\frac{8b}{a}\right) - 2 \right] \]
■ 巻き数 \( n \) によるインピーダンスの二乗（\( n^2 \)）比例則の物理的背景
多ターン巻きループアンテナのインピーダンスが単一ループの \( n^2 \) 倍になる理由は、アンテナを構成する各ターン同士の「強力な近接相互電磁誘導（電磁結合）」にあります。
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放射抵抗が \( n^2 \) 倍になる理由: 同相の電流 \( I_0 \) が流れるターンが \( n \) 本密着して存在すると、発生する遠方放射電界 \( E_\phi \) は単一ループの単純な線形重ね合わせにより \( n \) 倍 に強化されます。
空間に放射されるトータルパワー（ポインティング積分）は電界の2乗に比例するため、放射電力は \( n^2 \) 倍 となります。したがって、等価放射抵抗 \( R_r \) も \( n^2 \) 倍に増加します。
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リアクタンスが \( n^2 \) 倍になる理由: アンテナのインダクタンスは自己インダクタンスと他の全ターンとの相互インダクタンスの和になります。ターン間が極めて密着している細線ループと仮定すると、すべての結合係数 \( k \approx 1 \) となり、全体の自己インダクタンス \( L_{total} \) は、単一ループインダクタンス \( L_{1} \) のちょうど \( n^2 \) 倍 に達します。
5. 折り返しダイポールアンテナ（Folded Dipole）の4倍インピーダンス構造
平行に密接させた2本のダイポールが両端で折り返して接続された構造です。
■ モード分解解析による不平衡・平衡モード合成
この構造は、空間へ一様に放射する「アンテナモード（不平衡）」と、短絡スタブとして機能する「送電線路モード（平衡）」に分解して計算されます。
■ 4倍のインピーダンス変圧公式
2つの素子で電流が等分される（\( I_{in} = \frac{1}{2} I_{total} \)）ため、同一電力に対する入力インピーダンスは通常のダイポールの 4倍 になります：
\[ Z_{in} = Z_{dipole} \left(\frac{I_{total}}{I_{in}}\right)^2 = 4 Z_{dipole} \]
半波長共振抵抗が約 \( 73\ \Omega \) であるため、折り返し構造により、テレビ受信用同軸フィーダーに好整合な 約 \( 292\ \Omega \) が容易に得られます。