電磁波・通信物理学 統合シミュレーター

平面電磁波が平面境界へ入射する時、その偏光成分はs偏光（TE：境界面に平行に電場が振動）とp偏光（TM：入射面内に電場が振動）の2種類に完全分解できます。ここでは、電磁場の連続要請から、s偏光の反射振幅係数および透過振幅係数をステップを踏んで精密に導出します。

■ 導出ステップ1：s偏光の場ベクトルの記述

s偏光において、電場ベクトル $\vec{E}$ は境界面（$xy$ 面、境界 $z=0$）に完全に平行、つまり $y$ 軸方向にのみ振動するように定義します。 $$\vec{E}_i = (0, E_i, 0) e^{i(k_{ix}x + k_{iz}z - \omega t)}$$ $$\vec{E}_r = (0, E_r, 0) e^{i(k_{rx}x - k_{rz}z - \omega t)}$$ $$\vec{E}_t = (0, E_t, 0) e^{i(k_{tx}x + k_{tz}z - \omega t)}$$ ここで、波数の $z$ 成分は媒質の実伝搬角を用いて $k_{1z} = k_1 \cos\theta_i$、 $k_{2z} = k_2 \cos\theta_t$ と表されます（反射波は $-z$ 方向に向かうため $-k_{rz}$ と記述されます）。

■ 導出ステップ2：マクスウェル方程式に基づく対応磁場の導出

マクスウェル方程式のファラデーの電磁誘導の法則 $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = i \omega \mu \vec{H}$ を利用して、それぞれの波に伴う磁場ベクトル $\vec{H}$ を算出します。境界連続条件の接続には磁場の境界に平行な $x$ 成分が必要となります。 $$H_{ix} = -\frac{1}{i \omega \mu_1} \frac{\partial E_i}{\partial z} = -\frac{k_{1z}}{\omega \mu_1} E_i = -\frac{k_1 \cos\theta_i}{\omega \mu_1} E_i$$ $$H_{rx} = -\frac{1}{i \omega \mu_1} \frac{\partial E_r}{\partial z} = \frac{k_{1z}}{\omega \mu_1} E_r = \frac{k_1 \cos\theta_i}{\omega \mu_1} E_r$$ $$H_{tx} = -\frac{1}{i \omega \mu_2} \frac{\partial E_t}{\partial z} = -\frac{k_{2z}}{\omega \mu_2} E_t = -\frac{k_2 \cos\theta_t}{\omega \mu_2} E_t$$

■ 導出ステップ3：マクスウェル境界連続条件の連立方程式作成

平坦な境界条件における波動は、以下の2点を満たす必要があります：
(1) 電場接線成分（y成分）の連続性: $E_{iy} + E_{ry} = E_{ty} \implies E_i + E_r = E_t \quad (z=0)$
(2) 磁場接線成分（x成分）の連続性: $H_{ix} + H_{rx} = H_{tx} \quad (z=0)$
比透磁率が等しい光学系（$\mu_1 = \mu_2 = \mu_0$）を前提とし、波数関係 $k = n \frac{\omega}{c}$ を用いて磁場の連続式を整理すると、次のようになります。 $$n_1 \cos\theta_i (E_i - E_r) = n_2 \cos\theta_t E_t$$

■ 導出ステップ4：s偏光反射・透過係数の決定

上記ステップ3 of の連立方程式を解き、反射係_s = E_r / E_i$、透過係数 $t_s = E_t / E_i$ について整理します。 電場の連続条件から $E_t = E_i + E_r$ を磁場条件式へ代入すると： $$n_1 \cos\theta_i (E_i - E_r) = n_2 \cos\theta_t (E_i + E_r)$$ $$(n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t) E_i = (n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t) E_r$$ これにより、s偏光の反射公式が得られます。 $$r_s = \frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}$$ 同様に、透過係数 $t_s$ も導出されます。 $$t_s = \frac{2 n_1 \cos\theta_i}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}$$

p偏光（TM：横磁場波）は、電場ベクトルが入射面（$xz$ 面）内で振動し、磁場ベクトルが境界に完全に平行（$y$ 軸方向）に振動するモードです。電磁場ベクトルの成分分解が斜めになるため、s偏光とは大きく異なる境界反射特性（ブリュースター角など）を示します。

■ 導出ステップ1：磁場接線連続式の立案

p偏光では磁場 $\vec{H}$ が $y$ 軸方向を向き、接面方向に完全に整合するため、インピーダンス関係 $E = \eta H$ （$\eta = \sqrt{\mu/\epsilon} = \eta_0/n$）を用いて磁場振幅 $H_0$ に基づく境界条件を最初に立てるのが定石です。 $$H_i + H_r = H_t \quad (z=0 \text{ における y磁場接線連続性})$$ 電場振幅と磁場振幅の関係式 $H = n \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} E$ を代入し、非磁性体であることを考慮すると、電場成分 of の接続式は次のようになります。 $$n_1 (E_i + E_r) = n_2 E_t$$

■ 導出ステップ2：電場接線連続式の立案

電場ベクトルが入射面（$xz$ 面）内を振動する様子を幾何学的に分解すると、境界面（$z = 0$）に平行な成分（$x$ 成分）は、入射波と屈折波、および反射波の進行方向に応じてそれぞれ余弦を伴って次のように射影されます。 $$E_{ix} + E_{rx} = E_{tx} \implies E_i \cos\theta_i - E_r \cos\theta_i = E_t \cos\theta_t \quad (z=0)$$ ※反射波の電場成分 $E_r$ は、境界進行時に反転の幾何学方向をとるため符合がマイナスとなります。

■ 導出ステップ3：連立方程式の代数展開

これら電場の接線成分、および誘電特性から得られたステップ1とステップ2の2つの方程式を連立します。 $$n_1 (E_i + E_r) = n_2 E_t$$ $$\cos\theta_i (E_i - E_r) = \cos\theta_t E_t$$ 1番目の式から $E_t = \frac{n_1}{n_2}(E_i + E_r)$ を導出し、これを2番目の式に代入します。 $$\cos\theta_i (E_i - E_r) = \frac{n_1 \cos\theta_t}{n_2} (E_i + E_r)$$ $$(n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t) E_i = (n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t) E_r$$

■ 導出ステップ4：p偏光フレネル公式の決定

上式より、p偏光の反射振幅係数 $r_p$ および透過振幅係数 $t_p$ が完全に導出されます。 $$r_p = \frac{n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}$$ $$t_p = \frac{2 n_1 \cos\theta_i}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}$$

境界における特異現象である「無反射現象（ブリュースター角）」と「完全全反射（およびその漏れ出し場であるエバネッセント波）」について、その数理的成立を順を追って精密に証明します。

■ 1. ブリュースター角 $\theta_B$ の代数的・物理的導出

p偏光の反射係数の分子がゼロ、すなわち反射が完全に消失する条件 $r_p = 0$ を設定します。 $$n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t = 0 \implies n_2 \cos\theta_i = n_1 \cos\theta_t$$ ここでスネルの法則 $n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t$ と組み合わせます。辺々を割ると： $$\frac{\sin\theta_t}{\cos\theta_t} = \frac{n_1 \sin\theta_i}{n_2 \cos\theta_t} = \frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i \frac{n_2}{n_1 \cos\theta_i} = \frac{\sin\theta_i}{\cos\theta_i}$$ $$\tan\theta_t = \cot\theta_i = \tan(90^\circ - \theta_i)$$ これにより、角度間に次の重要な幾何学関係が成り立っている必要があります。 $$\theta_i + \theta_t = 90^\circ$$ これをスネルの法則へ再代入します（屈折角を $\theta_t = 90^\circ - \theta_i$ とします）： $$n_1 \sin\theta_B = n_2 \sin(90^\circ - \theta_B) = n_2 \cos\theta_B$$ 両辺を $n_1 \cos\theta_B$ で割ることで、無反射角度を与えるブリュースターの条件式が得られます。 $$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}$$

■ 2. 全反射（臨界角 $\theta_c$）と虚数屈折角の数理

光が屈折率の大きい媒質から小さい媒質（$n_1 > n_2$）へ進む系において、スネルの法則より、入射角が大きくなると屈折角 $\theta_t$ の正弦（サイン）が1を超える状況が発生します。 $$\sin\theta_t = \frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i > 1$$ この限界点を与える角度（屈折角がちょうど $90^\circ$ になる入射角）が臨界角 $\theta_c$ です。 $$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$ 入射角が臨界角を超えると（$\theta_i > \theta_c$）、数学的には $\cos\theta_t$ が「純虚数」として解かれます。 $$\cos\theta_t = \sqrt{1 - \sin^2\theta_t} = \pm i \sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2 - 1} = -i \alpha \quad (\alpha > 0)$$ ※物理的に減衰方向をとるため、符号はマイナスを選択します。

■ 3. 滲み出しエバネッセント波（減衰深さ）の記述

媒質2（透過側）での波動の進行部分 $e^{i(k_{tx} x + k_{tz} z - \omega t)}$ について、純虚数となった波数の $z$ 成分 $k_{tz} = k_2 \cos\theta_t = -i k_2 \alpha$ を代入します。 $$e^{i(k_2 \sin\theta_t x - i k_2 \alpha z - \omega t)} = e^{-k_2 \alpha z} e^{i(k_{tx} x - \omega t)}$$ この式は、$z$ 軸（境界から深さ方向）へ向かって指数関数的に急激に減衰しつつ、境界面（$x$ 軸方向）へ沿って進む波動を表しています。 この電場強度が元の $1/e$ （約37%）まで急速に減衰する特徴的な境界浸透深さ $\delta$ は次のように定義されます。 $$\delta = \frac{1}{k_2 \alpha} = \frac{\lambda_0}{2\pi \sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}}$$

薄膜干渉は、第1の面（媒質1-2）および第2の面（媒質2-3）で繰り返される無限回の往復・反射波どうしが、コヒーレントな重ね合わせ（干渉）を起こす現象です。これをただの2波干渉として近似せず、無限級数和を用いて数学的に厳密に導出します。

■ 導出ステップ1：膜内1往復による位相遅れ $\phi$

厚さ $d$、屈折率 $n_2$ の膜に入射角 $\theta_1$ で光が進入し、膜内を屈折角 $\theta_2$ で往復する際、1往復の幾何学的な経路差は $\Delta s = 2 n_2 d \cos\theta_2$ となります。 この1往復による蓄積位相差 $\phi$ は、波長 $\lambda_0$ を用いて次のように規定されます。 $$\phi = \frac{2\pi}{\lambda_0} n_2 d \cos\theta_2$$

■ 導出ステップ2：無限部分反射光の振幅の追跡

入射電磁波の初期振幅を $E_0$ とおきます。多重反射して媒質1へと脱出してくる各反射成分波の複素振幅は、次のような無限等比数列となります。
・第1反射波（表面での直接反射）: $A_0 = r_{12} E_0$
・第2反射波（膜内1回往復後に脱出）: $A_1 = t_{12} r_{23} t_{21} e^{-2i\phi} E_0$
・第3反射波（膜内2回往復後に脱出）: $A_2 = t_{12} r_{23} r_{21} r_{23} t_{21} e^{-4i\phi} E_0$ 一般に、第 $m$ 番目（$m \ge 1$）に脱出してくる反射波の振幅は次のように表されます。 $$A_m = t_{12} t_{21} r_{23}^m r_{21}^{m-1} e^{-2mi\phi} E_0$$

■ 導出ステップ3：無限級数和の計算による Airy 公式の導出

全体の総合成反射電場 $E_r$ は、これらすべての反射波の和となります。 $$E_r = \sum_{m=0}^{\infty} A_m = \left( r_{12} + t_{12} t_{21} r_{23} e^{-2i\phi} \sum_{k=0}^{\infty} (r_{21} r_{23} e^{-2i\phi})^k \right) E_0$$ 等比級数の和の公式 $\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}$ を適用します（$q = r_{21} r_{23} e^{-2i\phi}$）。 $$E_r = \left( r_{12} + \frac{t_{12} t_{21} r_{23} e^{-2i\phi}}{1 - r_{21} r_{23} e^{-2i\phi}} \right) E_0$$ ここで、誘電体境界における振幅保存関係（固定端・自由端の整合）である $t_{12} t_{21} = 1 - r_{12}^2$、および反射関係 $r_{21} = -r_{12}$ を代入して整理します。 $$r_{net} = \frac{E_r}{E_0} = r_{12} + \frac{(1 - r_{12}^2) r_{23} e^{-2i\phi}}{1 + r_{12} r_{23} e^{-2i\phi}} = \frac{r_{12} + r_{23} e^{-2i\phi}}{1 + r_{12} r_{23} e^{-2i\phi}}$$ これが光学における多重反射を記述する Airy（エアリー）の振幅反射公式 です。エネルギー反射率 $R$ はこの絶対値の2乗となります。 $$R = |r_{net}|^2$$

通常のブラッグの法則 $2d\sin\theta = m\lambda$ は、結晶内部の「屈折」を無視した理想的なモデルです。しかし、結晶多層膜や人工格子においては、媒質自身の実効屈折率 $n_{eff}$ によって入射線が屈折を受けるため、干渉極大が現れる回折角が大きくシフトします。この「修正ブラッグの法則」を詳細なステップで幾何導出します。

■ 導出ステップ1：スネルの法則の適用 (面からの角度基準)

一般の光学とは異なり、ブラッグ回折では角度 $\theta$ は「境界面（格子面）からのなす角」として定義されます。 外部（空気、屈折率1.0）からの入射角 $\theta$ に対し、結晶（実効屈折率 $n_{eff}$）内部での伝搬角を $\phi_t$ と置きます。 面を基準とした角に対するスネルの法則は、余弦（コサイン）を用いて次のように接続されます。 $$1 \cdot \cos\theta = n_{eff} \cos\phi_t$$

■ 導出ステップ2：媒質内部での真の光路差（路程差）の定式化

隣り合う格子面間（間隔 $d$）で散乱され、媒質中を伝搬する2つの波動間の光路差（幾何学的距離に屈折率を乗じたもの）は、結晶内の屈折角度 $\phi_t$ を用いて次のように規定されます。 $$\Delta s = 2 d n_{eff} \sin\phi_t$$

■ 導出ステップ3：スネルの法則を用いた変数変換プロセス

外部から直接測定可能な角度 $\theta$ の式へと変換するために、三角関数の基本恒等式 $\sin\phi_t = \sqrt{1 - \cos^2\phi_t}$ を用いてステップ2の式を書き換えます。 $$\Delta s = 2 d n_{eff} \sqrt{1 - \cos^2\phi_t}$$ ここにスネルの法則より得た関係式 $\cos\phi_t = \frac{\cos\theta}{n_{eff}}$ を代入します。 $$\Delta s = 2 d n_{eff} \sqrt{1 - \left(\frac{\cos\theta}{n_{eff}}\right)^2} = 2 d n_{eff} \sqrt{\frac{n_{eff}^2 - \cos^2\theta}{n_{eff}^2}}$$ 分母から $n_{eff}$ を脱出させることで、次の屈折率補正された美しい光路差公式が得られます。 $$\Delta s = 2 d \sqrt{n_{eff}^2 - \cos^2\theta}$$

■ 導出ステップ4：修正ブラッグの法則の完成

この屈折補正後の実質光路差が、真空中の波動波長 $\lambda$ の整数倍になるとき、すべての原子面からの反射波の位相が完全に強め合います。 $$2 d \sqrt{n_{eff}^2 - \cos^2\theta} = m \lambda \quad (m = 1, 2, 3, \dots)$$ 結晶の屈折率 $n_{eff}$ が $1.0$ (真空) の場合、根号内は $\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta$ となり、完全に通常のブラッグ回折条件に回帰することからも、この導出プロセスの整合性が証明されます。

地球上空（約60km〜数千km）に存在する**電離層（電離圏）**は、太陽からの紫外線やX線によって大気ガス分子が電離し、**自由電子と陽イオンからなるプラズマ状態**となっています。この電離層が電磁波に対してなぜ「全反射ミラー」または「素通しガラス」として機能するのかを、マクスウェル方程式と電子の運動方程式から物理的に完全導出します。

■ 導出ステップ1：プラズマ中の自由電子の運動方程式

イオンの質量は電子に比べて極めて重いため運動を無視し、質量 $m$、電荷 $-e$（$e > 0$）の電子のみが電波の交番電場 $\vec{E}(t) = \vec{E}_0 e^{-i\omega t}$ によって揺すられるモデル（非衝突冷たいプラズマ近似）を立てます。電子の変位ベクトルを $\vec{x}$ とすると、ニュートンの運動方程式は次のように記述されます。 $$m \frac{d^2 \vec{x}}{dt^2} = -e \vec{E}_0 e^{-i\omega t}$$ 定常的な強制振動解を $\vec{x}(t) = \vec{x}_0 e^{-i\omega t}$ と置いて時間微分を実行すると： $$-m\omega^2 \vec{x} = -e \vec{E} \implies \vec{x} = \frac{e}{m\omega^2} \vec{E}$$

■ 導出ステップ2：マクロな電気分極 $\vec{P}$ とプラズマ周波数 $f_p$ の導出

電離層内の電子密度を $N_e \text{ [m}^{-3}\text{]}$ とします。単位体積中の電子の変位による電気分極（双極子モーメント of の総和） $\vec{P}$ は以下となります： $$\vec{P} = -e N_e \vec{x} = -\frac{e^2 N_e}{m\omega^2} \vec{E}$$ 電束密度 $\vec{D}$ は、真空の誘電率 $\epsilon_0$ を用いて $\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E}$ と表されます。 ここに上の $\vec{P}$ を代入することで、電離層プラズマの**「等価（比）誘電率 $\epsilon_r$」**が得られます： $$\epsilon_r(\omega) = 1 - \frac{e^2 N_e}{\epsilon_0 m\omega^2}$$ ここで、等価誘電率がちょうど $0$ となる固有周波数を**プラズマ角周波数 $\omega_p$** と定義します： $$\omega_p = \sqrt{\frac{e^2 N_e}{\epsilon_0 m}}$$ 実用的な周波数 $f_p \text{ [Hz]} = \omega_p / (2\pi)$ と、各定数（$e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$、 $m \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$、 $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m}$）を代入すると、非常にシンプルな実用実験式が導かれます。 $$f_p \approx \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{e^2 N_e}{\epsilon_0 m}} \approx 8.98 \sqrt{N_e} \approx 9 \sqrt{N_e}$$

■ 導出ステップ3：全反射（電離層の『有』）と透過（電離層の『無』）の閾値

プラズマの波動方程式における波数は $k = \frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}$ です。等価誘電率の式をプラズマ周波数 $f_p$ と電波周波数 $f$ で書き換えます。 $$\epsilon_r(f) = 1 - \left(\frac{f_p}{f}\right)^2$$
(1) 周波数 $f < f_p$ のとき (電離層が全反射ミラーとして振る舞う「有」の状態): 比誘電率が $\epsilon_r < 0$ となり、波数 $k = \frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}$ は純虚数になります。これは電磁波が進行波として内部を伝搬できず、境界面で100%反射（全反射）されることを意味します。この閾値を電離層の**臨界周波数 $f_c$** と呼び、短波帯（HF帯、3〜30MHz）はこの反射を利用して、地球の裏側まで超長距離通信を行うことができます。
(2) 周波数 $f > f_p$ のとき (電離層が存在しないかのように素通りする「無」の状態): 比誘電率が $0 < \epsilon_r < 1$ となり、電磁波は電離層をわずかに屈折しつつ突き抜けて宇宙空間（衛星通信やGPSで使用するUHF・微波帯）へと透過します。

中波や短波のラジオ、およびアマチュア無線において、受信している電波の強さが時間とともに「サー」と小さくなったり、また大きくなったりする不安定な現象を**フェージング（Fading）**と呼びます。この通信品質を低下させる最大の障壁のメカニズムを、複数伝搬パスの位相干渉として解き明かします。

■ 1. 2パス干渉（直接波と電離層反射波）の電界強度方程式

送信点から放射された同一周波数の電波が、2つの異なる伝搬距離 $L_1$ （直接波または地表波）と $L_2$ （上空の電離層で1回反射して戻ってくる波）を経由して受信アンテナに到達するモデルを立てます。それぞれの経路で減衰した受信電界振幅を $E_1$, $E_2$ とおくと、受信点での合成複素電界強度 $\vec{E}_{total}$ は次のように記述されます。 $$\vec{E}_{total} = E_1 e^{i(k L_1 - \omega t)} + E_2 e^{i(k L_2 - \omega t + \phi_R)}$$ ここで、$\phi_R$ は電離層反射時に生じる境界位相変化です。合成強度の包絡線振幅 $|E_{total}|$ の2乗（受信電力）は次のように計算されます。 $$|E_{total}|^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos\left(k(L_2 - L_1) + \phi_R\right)$$ 物理波数を $k = \frac{2\pi}{\lambda_0}$ とおくと、余弦項の引数（位相差） $\Delta\Phi$ は経路差（路程差） $\Delta L = L_2 - L_1$ を用いて表されます。 $$\Delta\Phi = \frac{2\pi f}{c} \Delta L + \phi_R$$

■ 2. なぜ強度が時間変動するのか？（干渉性フェージングの発生）

太陽風の乱れや昼夜の移り変わり、大気の対流運動により、上空の電離層の電子密度（屈折率分布）や反射する実効的な高さは、ミリ秒〜数秒単位で常に**微小な揺らぎ（ゆらぎ）**を起こしています。
これにより、反射波の経路長 $L_2$ すなわち経路差 $\Delta L$ が波長単位（短波帯の 15MHz では波長 $\lambda \approx 20 \text{ m}$ ですが、そのわずか半分の $10 \text{ m}$ ずれるだけで干渉条件が反転します）で不規則に変動します。
これにより、余弦項 $\cos(\Delta\Phi)$ が $+1$ （同位相での完全な強め合い：最大受信電界）から $-1$ （逆位相での完全な打ち消し合い：デッドフェード・無信号状態）の間を激しく往復するため、受信強度が時間とともに波打つ**「干渉性フェージング（Interference Fading）」**が発生します。

■ 3. フェージングを撃退する通信工学・ダイバーシティ技術

フェージングによる通信途絶を克服するために、近代の無線・モバイル通信（5G/Wi-Fiなど）でも標準搭載されているのが**「ダイバーシティ技術（Diversity）」**です。

1. スペース（空間）ダイバーシティ: 受信点を波長の数倍以上離した複数アンテナ（例えばアンテナAとB）を設置します。干渉の山と谷の空間分布が異なるため、アンテナAが「打ち消し合って無信号（谷）」の時でも、アンテナBは「強め合う（山）」状態になる確率が非常に高くなります。これらを自動で切り替えるか合成（最大比合成など）することで、通信を一定に安定させます。
2. 周波数ダイバーシティ: 合成強度方程式から明らかなように、干渉の位相差 $\Delta\Phi$ は周波数 $f$ に依存します。そのため、複数の異なる周波数キャリアで同一の情報を同時に送信すると、片方の周波数がフェージングで沈み込んでも、もう片方の周波数は生き残るため通信が確保されます。